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Sistemi dinamici

Bazzani, Giorgini, Lunedei, Mainardi, Mattioli, Piva, Rambaldi, Rossi, Salustri, Servizi, Turchetti, Vivoli

Negli ultimi decenni la dinamica non lineare ha avuto importanti sviluppi e si è esteso il campo delle sue applicazioni. Nel XIX secolo l'analisi ed i modelli lineari sono stati applicati con successo nella Fisica e nell'Ingegneria; tra i sistemi non lineari solo quelli completamente o quasi integrabili erano stati studiati ed utilizzati. Ma se ben descrivevano il moto dei pianeti risultavano inadeguati per trattare un fluido od un plasma turbolento.
La teoria dei sistemi dinamici, che coniuga l'evoluzione deterministica con una lettura statistica del moto tramite una misura invariante di probabilità, è stata fondata da Birkhoff e Poincaré partendo dalla meccanica statistica di Boltzmann. I sistemi integrabili presentano moti regolari quasi-periodici, mentre quelli uniformemente caotici, seppur deterministici, sono assai simili ai processi stocastici e presentano grande sensibilità ai dati iniziali ma hanno semplici proprietà statistiche.
Tra questi due estremi esiste un ampio spettro di sistemi con comportamenti intermedi e nei quali ordine e caos si intercalano. Si osservano strutture geometriche non convenzionali dette ``frattali'', con proprietà di invarianza di scala, simili ad un gioco infinito di scatole cinesi. Quando si introducono forze dissipative, che distruggono gli invarianti geometrici del moto e forzature periodiche, il moto asintotico si svolge su di un attrattore con proprietà di invarianza di scala e dimensione non intera, indice di un bilancio energetico ripristinato dopo un transiente iniziale.
Il comportamento dinamico viene esaminato da un punto di vista statistico introducendo opportuni indicatori quali gli esponenti di Lyapounov, che misurano la divergenza delle orbite vicine, e/o i tempi di ricorrenza che indicano la frequenza con cui un'orbita ritorna in prossimità del punto iniziale.
Anche la misura invariante definita su un attrattore viene studiata decomponendo quest'ultimo in sottoinsiemi con la stessa legge di scala e valutandone la dimensione corrispondente.
I cambiamenti di topologia al variare di un parametro del sistema, detti biforcazioni, forniscono scenari per il passaggio dall'ordine al caos. Per i sistemi hamiltoniani quasi integrabili si propone una teoria delle forme normali, che consiste nel coniugarli, tramite costruzioni di tipo perturbativo, con sistemi aventi una topologia ben definita. A questa classificazione e all'individuazione di orbite irregolari o ``caotiche'' si giunge anche per via numerica tramite un'analisi di Fourier delle orbite, che associa a ciascuna di queste le frequenze del moto (laddove esistono). L'evoluzione di un insieme di punti con densità iniziale data può essere seguita numericamente o integrando l'equazione di continuità cui soddisfa la funzione densità, da interpretarsi come densità di probabilità. La stessa analisi si ripropone quando il sistema è soggetto un campo che abbia una componente fluttuante.
In questo caso, anche mantenendo inalterata la condizione iniziale, si hanno orbite diverse, o come si suol dire diverse realizzazioni del processo stocastico. Si può ancora seguire l'evoluzione nel tempo di una funzione densità, che soddisfa ad una equazione di tipo diffusivo detta di Fokker Planck, o sue generalizzazioni nel caso di rumore correlato. Questa descrizione viene spesso usata per isolare alcuni gradi di libertà significativi di un sistema trattando i rimanenti come un sistema esterno che produce un campo fluttuante.
Il caso più semplice è l'equazione di Langevin che descrive il moto erratico di particelle immerse in un fluido ove gli urti con le molecole sono descritti da un rumore non correlato (bianco) e la resistenza del mezzo da un termine dissipativo. La funzione densità ha come stato di equilibrio la distribuzione di Boltzmann, che consente di identificare la temperatura con il rapporto tra il quadrato dell'ampiezza del rumore ed il coefficiente di dissipazione.

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